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Por Sheldon, publicado el 17.06.10. “Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho cuerpo”
 Arquímedes por José Ribera. Museo del Prado.
Bienvenidos de nuevo queridos lectores, hoy me gustaría hablaros acerca de uno de los más grandes genios de la historia del hombre, Arquímedes, y su famoso Principio. Imagino que todos conocemos la famosa historia en la que Hierón II pidió a Arquímedes (del cual, por cierto, era primo carnal) que verificase la autenticidad de su nueva corona de oro. Hierón II había entregado un lingote de oro puro a un orfebre y desconfiaba de si éste se había quedado parte del oro sustituyéndolo por plata o cobre.
Arquímedes no tenía del todo claro cómo demostrarlo y se pasaba el tiempo dándole vueltas al problema, pues, obviamente no podía fundir la corona para medir su densidad. Por aquel entonces Arquímedes ya intuía parte del que sería el principio de la hidrostática, pues había notado como el agua aumentaba de nivel al sumergir algo en ella y que, dentro del agua podía mover las piernas con más facilidad porque parecían “pesar” menos.
Dado que el agua es incompresible (es decir, no varía su densidad), al sumergir un cuerpo en ella, ésta debería desplazarse. ¿Cuánto? Pues fácil, la misma cantidad de volumen que se había sumergido en ella. ¿Por qué? Bueno, es lógico pensar que si en una bolsa de canicas meto, por ejemplo…ehh… un cubo de rubik! El volumen total de la bolsa será el de las canicas más el del cubo de rubik, ¿verdad? A menos que pudiese disminuir la distancia entre las canicas. Cómo el agua es incompresible y eso significa que no puede variar su densidad (la distancia entre las canicas) deducimos que el volumen desplazado, forzosamente, es el mismo que el del cuerpo sumergido.
Y aquí es donde nos cuentan cómo, mientras se daba un baño, llegó a su mente la solución al problema y salió corriendo por las calles de Siracusa desnudo gritando ¡Eureka! ¡Eureka!, que significa ¡Lo encontré! ¡Lo encontré! Pues bien, esta anécdota, según me enteré hace poco, es falsa.
 ¡Eureka! ¡Lo encontré!
De pequeño también nos contaron, o al menos a mí, que tomó la corona de Hierón II y una cantidad de oro (Arquímedes era rico, por si no lo sabíais) igual a la utilizada para su fabricación. Preparó, además, unos recipientes iguales llenos de agua y sumergió la corona en uno y el oro en el otro. Según su propio Principio (el de Arquímedes, ¡claro!) el volumen de agua desalojado debería ser el mismo en ambos casos si la corona fuera de oro macizo. Sin embargo, parece que esta historia tampoco es todo lo fidedigna que debería, entre otras cosas porque si el método seguido por Arquímedes fuese exactamente el descrito apenas habría podido distinguir diferencias en los desplazamientos de agua. Enseguida veremos por qué. Para ello deberemos hacer algunos cálculos, todos ellos sencillos, así que no os asustéis.
Como ya hemos comentado, Arquímedes ya conocía el desplazamiento del agua y esa especie de flotación que parecían sufrir los cuerpos una vez sumergidos. Pero además, también se había fijado en que el cociente entre el peso de un cuerpo y su volumen (es decir, su densidad) parecía ser una propiedad intrínseca del propio material. Estableció la densidad del agua en 1 g/cm3, la del oro en 19,3 g/cm3 y la de la plata en 10,6 g/cm3.
Con estos valores podemos calcular el volumen de la corona. La corona más grande que se ha encontrado de los tiempos de Arquímedes pesa 714 gramos. Como puede que con el tiempo se hayan perdido alguna de sus partes vamos a aproximar su peso a 800 gramos. Por lo tanto, si la corona fuera de oro macizo tendría un volumen de 800 g / 19,3 g/cm3 = 41,450 cm3.
Si suponemos que el orfebre había cambiado un 30% del oro por plata, eso significa que la corona tendría 560 gramos de oro y 240 de plata. El volumen de la parte de oro sería de 560 g / 19,3 g/cm3 = 29,016 cm3 y el de la parte de plata de 240 g / 10,6 g/cm3 = 22,642 cm3 lo que haría en total una corona de 51,658 cm3.
Pues bien, ahora suponemos que para medir el desplazamiento del agua se utilizó un recipiente circular de unos 25 cm de diámetro. Esto nos da una base de (πr2) 491 cm2. Podemos calcular cuánto sube el nivel del agua en cada caso simplemente dividiendo el volumen de cada corona por la superficie de la base del recipiente. ¿Por qué así? Pues porque al introducir la corona desplazamos una cantidad de agua igual al volumen de la corona y esa cantidad de agua debe repartirse a lo largo de la superficie del recipiente.
Por lo tanto, en el primer caso, con la corona de oro macizo, el agua debería haberse desplazado 41,450 cm3 / 491 cm2 = 0,084 cm. Mientras que en el segundo caso, con la corona mezclada al 30% con plata, el agua debería haberse desplazado 51,658 cm3 / 491 cm2 = 0,105 cm. Esto supone una diferencia entre ambos casos de 0,105 – 0,084 = 0,021 cm, o, lo que es lo mismo, ¡0,21 mm! No había manera de que Arquímedes pudiese medir tal diferencia en aquella época, por lo tanto ese no pudo ser el método seguido para demostrarlo.
 Desplazamiento de fluido
Pero si eso utiliza el Principio de Arquímedes y aun así Arquímedes no pudo hacerlo de esa manera ¿cómo lo hizo? Pues bien, lo que hizo Arquímedes fue utilizar la parte de su Principio que dice que, además de desplazar el fluido, se genera un empuje vertical igual al volumen del cuerpo sumergido.
Esto significa que nuestra corona de oro macizo en el agua pesa sus 800 gramos menos los 41,450 gramos de agua que desplaza (ya que el agua tiene una densidad de 1 g/cm3), es decir, tiene un peso aparente de 758,55 gramos. Por otra parte, la corona falsa pesaría 560 g – 29,016 g más 240 g – 22,642 g , es decir, 748,342 gramos. Así, dado que la diferencia en peso entre las coronas es de 10,208 gramos y en aquella época si era medible tal diferencia, lo único que le quedaba por hacer a Arquímedes era introducir una balanza dentro del agua y medir la diferencia de peso entre la corona de Hierón II y su equivalente peso en oro. Si la corona hubiese sido falsa la balanza se habría inclinado hacia el lado del oro, pues la diferencia en volumen habría generado un empuje vertical mayor sobre la corona falsa que sobre la verdadera.
¿Cuál fue la conclusión en cuanto a la corona? ¿Era verdadera? ¿Era falsa? Pues la verdad es, amigos lectores, que no lo sé. He encontrado multitud de fuentes donde se dice que la corona era falsa, pero también he encontrado alguna otra fuente de peso que, mediante el método expuesto, afirma que Arquímedes demostró que la corona estaba fabricada en oro macizo. Así que lo dejo a vuestra elección. Ahora que sabéis cómo lo hizo el siracusano, podéis recrear la historia en casa a vuestro antojo.
Por Leonard, publicado el 09.06.10. Buenas tardes queridos lectores.
En este frío y lluvioso (al menos en Madrid) día de junio, os traemos un post de los que podríamos denominar absurdos (bueno, muchos podrían denominarse así ) y que no es más que nuestra forma de expresar la rabia, repugnancia, y hastío que nos provoca mucha de la publicidad que vemos habitualmente en multitud de webs, en forma de banners con algún tipo de pregunta que trata de retar a nuestra lógica.
Todos nos habremos encontrado alguna vez con la típica publicidad en forma de imagen, en la que nos pintan un montón de triángulos entremezclados y contenidos unos en otros, y nos preguntan por el número total de triángulos (o cuadrados, o rombos…), o bien la típica de una imagen que, según la interpretemos, puede ser una dama joven o una anciana, una cara o un saxofón, y cosas así.
Si bien hay algunas de estas imágenes que realmente son curiosas, y nos hacen pensar, fijarnos en los detalles y estar atentos para encontrar las diferentes interpretaciones posibles, hay otro tipo de publicidad que nos resulta realmente insoportable, al menos a Sheldon y a mi, como esa en las que debemos discernir si una imagen es real o se trata de un montaje. Y más allá de estos anuncios, hay otro en concreto que no soporto: el de la imagen de dos caras, una junto a la otra, ligeramente diferentes, en la que nos preguntan cuál de esas caras corresponde a una mujer y cuál a un hombre (aunque, pinchemos donde pinchemos, el banner nos llevará a la misma página…). Aquí tenéis una captura de esa publicidad:
 Banner original
Como podéis ver, son dos caras bastante parecidas (evidentemente tenían que ser parecidas y no mostrar rasgos claros de un determinado sexo; si nos hubieran puesto a Mister T con Beyoncé habría sido fácil de averiguar). Podéis pasar horas buscando diferencias entre ambas, que lo único que encontraréis son ligeros cambios de iluminación, matices de luz, y reflejos de éstos en los ojos. ¿No os lo creéis? Bueno, pues expliquemos una aplicación básica de la teoría de frecuencias a las imágenes, y veamos los resultados que obtenemos al aplicarla a esta publicidad.
El hecho que queremos comentar es cómo las frecuencias altas a menudo camuflan o mitigan la información de las frecuencias más bajas, y es que al menos los sentidos del ser humano funcionan así. Un ejemplo claro lo tenemos en una multitud de personas, en la que aunque la mayoría de la gente esté aplaudiendo, por ejemplo, a su equipo favorito, se escucharán mucho más los pitidos de los grupos contrarios a dicho equipo, incluso aunque en proporción sean muchas menos personas. Esto mismo, trasladado al sentido de la vista, lo podemos apreciar ni más ni menos que en el gotelé, que aunque a primera vista pueda parecer un tipo de decoración sin más, en realidad se utiliza para camuflar imperfecciones de la construcción sobre la que se aplica. ¿Por qué tiene dicho efecto? Precisamente porque nuestro ojo es más sensible a las altas frecuencias, y en general, las frecuencias altas son las que encontramos donde se producen cambios rápidos de información (cambios rápidos en el tiempo, o cortos en el espacio). Así, si observamos un muro con su superficie pulida y lisa, pero ligeramente abombado, o inclinado, nos daríamos cuenta de dicho abombamiento con relativa facilidad. Pero si dicho muro no está pulido y liso, sino que presenta una superficie con gotelé, no apreciaremos la deformación del muro ya que un hundimiento leve a lo largo de, por ejemplo, 1 metro de pared, es mucho menos perceptible para nuestro ojo que miles de gotitas a poca distancia unas de otras. Así, el gotelé camuflará las imperfecciones del muro en cuestión. Las altas frecuencias contienen (en general) mucha más información que las bajas; de ahí que, por ejemplo, cuando necesitamos comprimir vídeo para enviarlo por un canal, ocupará mucho más espacio (a igualdad de duración) un vídeo de Fórmula 1 que un vídeo de, por ejemplo, un film romántico, ya que necesitamos muestrear a mucha mayor velocidad las imágenes de Fórmula 1 para poder reconstruirlas adecuadamente y no perder información en dicha reconstrucción. Y es que nuestros sentidos están preparados para prestar especial atención a esas frecuencias altas, porque en ellas hay una enorme cantidad de información.
Volviendo al tema que nos ocupa… ¿cómo podemos aplicar esto a la publicidad odiosa? Pues bien, si habéis llegado a este punto, ya habréis intuido que los diseñadores del banner publicitario utilizan, como dijimos, pequeños matices en la iluminación y las sombras, para hacernos pensar que se trata de dos personas diferentes. Y es que en esas fotos, predominan las bajas frecuencias, ya que casi todo son unos leves degradados de gris. Lo que podemos hacer entonces, para apreciar mejor las diferencias (o las “no diferencias”, mejor dicho) es minimizar la información que las bajas frecuencias nos aportan, y quedarnos con las altas. Digamos que no nos interesa comparar los muros, sino el gotelé que hay sobre ellos, porque los muros parecen ligeramente diferentes (sólo por la iluminación), así que compararemos la parte de la imagen con mayor información, que es el gotelé. Y en la imagen, el gotelé serán las zonas con bordes, donde haya cambio de colores, donde haya mayor variación de información en menor espacio, o sea, contornos de los labios, de los ojos, la nariz, etc. Así pues, utilizando cualquier herramienta de edición gráfica, encontraremos opciones como filtros y perfiladores, que cumplen la función que buscamos. En mi caso utilizaré Corel Photo-Paint X3. Veamos los sencillos pasos:
Paso 1 – En primer lugar, aplico a toda la imagen el filtro de perfilado, lo que me resaltará las zonas de altas frecuencias, bordes y contornos, que es lo que nos interesa:
 Realzando los perfiles
Paso 2 – A continuación, le aplicaremos un filtro paso alto, que quiere decir que nos quedaremos con dichas frecuencias altas (anteriormente resaltadas, para que en este paso las veamos aún más claras). Unos valores de Porcentaje = 85% y Radio = 1 nos eliminarán prácticamente todas las frecuencias bajas, de forma que no nos podrán distraer las sombras y matices de iluminación, y veremos sólo lo que nos interesa. Llegados a este punto, ya resulta bastante obvio que las dos caras corresponden a la misma persona:
 Filtrando paso alto
Paso 3 – Si queremos ver con mayor claridad qué zonas estaban más oscuras en cada foto, podemos convertir la imagen a Blanco y Negro de 1 bit, en modo lineal, con lo que obtendremos algo así:
 Buscando las zonas oscuras en B&W 1 bit
Paso 4 – De cualquier forma, desde la imagen del paso 2, basta con recortar una de las fotografías, pegarla sobre la otra de forma que coindica lo mejor posible la alineación de ambas, y jugar con la trasparencia de la fotografía que acabamos de pegar: si movemos su selector de opacidad del 100% al 0%, veremos como apenas notamos diferencia… ¿por qué? Evidentemente porque ambas fotos corresponden a la misma persona:
 Comparación con diverso grado de opacidad
Bueno, queridos lectores, después de esta curiosidad apoyada en bases técnicas, que esperamos que haya sido de vuestro agrado, no nos queda más que invitaros a ser críticos con este tipo de cosas, a plantearos todo lo que véis, y a no dejaros engañar. No nos cabe duda de que podrían haberse aplicado más filtros, jugar con la saturación y el tintado para, por ejemplo, al superponer las dos imágenes, multiplicarlas o dividirlas y ver más claramente aún las posibles diferencias, pero este no pretende ser un post sobre diseño gráfico (quizá algún día…)
Antes de despedirnos, para aquellos que sentáis curiosidad por el tema de las ilusiones ópticas, os recomiendo encarecidamente que no os perdáis la conocida como Checker Shadow Illusion del Edward H. Adelson del MIT, realmente impresionante, y que se resume en la siguiente figura:
 Checker Shadow Illusion
¿Os parece que los cuadros A y B son de colores diferentes? Pues… no Son del mismo color. La explicación la podéis encontrar en su web de forma muy gráfica, ¡no os la perdáis!
¡Hasta pronto!
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