En esta lluviosa y fría época de un invierno que parece no terminar nunca, os traemos un post que tratará de acercaros un poco el mundo de uno de los puzzles más famosos del mundo: el Cubo de Rubik.
Cubo de Rubik original
Vamos a explicar un poco la historia del cubo de Rubik o Cubo Mágico, sus variantes, su funcionamiento, y algunas curiosidades matemáticas sobre el mismo. Además, os daremos algunas pistas para poder resolverlo (no somos especialistas en el tema ni mucho menos, así que sólo haremos una brevísima introducción a uno de los métodos de resolución), y os proveeremos de una serie de links muy útiles y recomendables si os decidís a adentraros en el mundo del Cubo (NOTA IMPORTANTE: es altamente adictivo, do it at your own risk.)
Comenzaremos diciendo que anteriormente al Cubo de Rubik (CR en adelante, para abreviar), existieron otros parecidos, aunque con mecanismos diferentes. En marzo de 1970, nació el cubo de 2×2x2, que utilizaba imanes en sus piezas. Un mes después, apareció el esférico 3×3x3 de Frank Fox. Ambos inventos fueron patentados (en Canadá y EEUU el primero, y en Reino Unido el segundo). No fue hasta el año 1974 que un escultor y profesor de arquitectura húngaro llamado Ernö Rubik lanzó su cubo, que obtuvo una patente húngara ( HU170062) en 1975. Éste cubo brillaba por su ensamblaje interior, que carecía de imanes. En lugar de éstos, las piezas se unían mediante huecos y salientes, lo que hacía más barata la construcción del puzzle. En 1977 estaba a la venta sólo en Budapest, y salió de Hungría en 1980. Dejando de lado los problemas de patentes, plagios, demandas, imitadores (más o menos afortunados) y demás, podemos decir que el CR ya ha cumplido 30 años de vida, y está en plena forma.
Ernö Rubik
En cuanto a su inventor, Ernö Rubik, se dice de él que es un hombre muy reservado, que rara vez se deja ver en noticias relacionadas con el cubo (aunque ha asistido a algún campeonato, de manera excepcional), y que cuando creó el cubo no sabía si habría alguna forma de resolverlo que no fuera deshaciendo uno a uno los movimientos que desordenan las caras del cubo.
Observando la foto, ¿no le véis un cierto parecido con Sheldon Cooper cuando tenga 65 años? Si nos están leyendo los guionistas de The Big Bang Theory, sería un detalle muy divertido si consiguieran llevar a Rubik a participar en algún capítulo de la serie… podría hacer incluso el papel de futuro Sheldon
En la actualidad, el cubo de 3×3x3, que es el original de Rubik, es sólo uno de los múltiples modelos que podemos encontrar. Ahora existen variantes en 2×2x2, 3×3x3, 4×4x4, 5×5x5, 6×6x6, 7×7x7 (los famosos V-Cube), incluso 12×12x12 (no sé hasta que punto funciona éste…). Los hay irregulares, con formas cuadradas, redondas, piramidales… Los hay con caras de colores o con caras numeradas. Los hay con huecos en el centro de las caras o macizos. Incluso los hay electrónicos. En fin, todo un elenco de posibilidades, que retarán hasta a las mentes más brillantes a romperse la cabeza. Aquí tenéis una imagen resumen de algunos de los tipos de cubos más conocidos (pinchad en ella para verla más grande):
Algunos tipos de puzzles basados en el Cubo de Rubik
En cuanto al funcionamiento del cubo, es tan sencillo como elegante. Si nos fijamos en su estructura, veremos que tiene 26 piezas (3×3x3 menos la pieza central). En el cubo encontramos 6 piezas centrales (una en cada cara) que definen el color de la cara en que se encuentran. Dichas piezas, están ancladas a un mecanismo central interior mediante tornillos (si somos afortunados, ya que permiten realizar algunos ajustes en el cubo) o remaches, que permite los giros de 360º de los ejes de cada una de ellas. Cada una de estas piezas tiene un solo color. Además, tenemos 8 piezas de esquinas o vértices, cada una de ellas con 3 colores, ya que en ellas coinciden 3 caras. Por último, hay 12 piezas de tipo aristas, situadas en los bordes, entre dos piezas vértice, y que tienen dos colores por ser la unión de dos caras. Las piezas de tipo vértice tienen un pequeño saliente en su interior, que las mantiene encajadas en la estructura del cubo, dándole una gran versatilidad a la vez que sin dejarlas caer incluso cuando giramos una cara 45º y parece que la pieza se va a salir. El saliente de las aristas es un poco más grande, lo cual le da mayor estabilidad sin interferir en el movimiento del resto de las piezas. Si pudiéramos ver el cubo desde dentro cuando está montado, veríamos una serie de huecos que conforman un hueco mayor en cada cara, de forma cilíndrica (casi esférica), como si todo el cubo girara en torno a una esfera interior que en realidad es un hueco.
Estructura interior del cubo
Ahora viene la parte que muchos de vosotros estábais esperando: las matemáticas del cubo. Para averiguar cuántas permutaciones posibles nos ofrecen las piezas del CR, debemos tener en cuenta que podemos combinar todos los picos de cualquier manera, lo que da lugar a 8! posibilidades. De igual modo, podemos combinar como queramos las aristas, lo que nos ofrece un total de 12! posibilidades. Pero conjuntamente, debemos tener en cuenta que la permutación total de vértices y aristas debe ser par (se escribirá como composición de un número par de trasposiciones). Por teoría de permutaciones, tenemos que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Por tanto, nos quedaremos con la mitad de las que llevábamos calculadas, que serán las pares. Además, en el cubo, podremos rotar todos los vértices como queramos excepto uno, sin alterar el resto del cubo. La orientación de los 7 primeros vértices fijará la del 8º, así tenemos 37 posibilidades. En el caso de las aristas, ocurre igual (11 aristas nos determinarán la posición de la última), por tanto tendremos 211 posibilidades. Multiplicando todas las posibilidades calculadas y diviendo entre dos (según explicamos antes), nos queda un total de:
Para comprobar este resultado, lo que se hace es demostrar que todos los movimientos expuestos anteriormente se pueden realizar en el cubo, y que no se puede realizar ningún otro. Si queréis una guía con el proceso de comprobación, podéis echar un vistazo en este link. Además, en la misma web podéis encontrar un pequeño resumen para calcular el número de permutaciones de cubos más grandes… resultan cifras realmente escalofriantes. Además, hay otras curiosidades, como el número 24, que se repite constantemente en el cubo (cada centro de cara puede estar en 4 posiciones diferentes al ser girado, y hay 6 centros -> 24 posiblidades; cada arista en 2 posiciones diferentes, y hay 12 -> 24 posibilidades; cada esquina en 3 posiciones diferentes, y hay 8 esquinas -> 24 posibilidades… etc).
Continuando con nuestra presentación sobre el CR, llega el momento de tratar la forma de resolverlo. El método más sencillo, el de novatos, consta de varias fases. La mayoría de los movimientos a realizar se comprenden bien cuando uno piensa la lógica que hay detrás, aunque al final toca memorizar varios algoritmos para realizar determinados giros sin destrozar el resto del cubo que ya llevamos hecho. Los métodos avanzados para speedcubing (para conseguir resolver el cubo en el menor tiempo posible) contemplan cientos de algoritmos que deben usarse según los patrones que encontremos conforme resolvemos el cubo.
En el método para principiantes, se comienza realizando la cruz del color de una cara, por ejemplo la roja. Este paso es muy sencillo, simplemente hay que ser precavido, y comprobar que el lado no-rojo de las aristas coincide con el color del centro de las caras adyacentes donde estamos situándolos. Hecho esto, se colocan las esquinas rojas. El procedimiento siempre es el mismo: si debemos llevar una esquina a un hueco, debemos llevar el hueco a la posición donde estará la esquina cuando la giremos en un determinado sentido, y luego devolver el hueco a su sitio (se ve más fácil gráficamente). Colocadas las esquinas, habríamos terminado la primera fila. A continuación, se situán adecuadamente las aristas de la segunda fila y ésta quedaría resuelta. Quedaría la última fila (con la cara superior naranja en nuestro caso). Empezaríamos haciendo la cruz de su color en la cara de arriba, después colocando los vértices en sus lugares adecuados, y por último girando éstos para que queden bien orientados. Para realizar estos movimientos, basta con aprender 4 secuencias, y con un poco de práctica, podréis resolver el cubo en cuestión de un par de minutos e incluso menos.
El método avanzado más conocido es el de Jessica Fridrich, y se divide en 4 fases: la cruz, el First 2 layers (F2L, 41 algoritmos), el Orientation of Last Layer (OLL, 57 algoritmos) y el Permutation of Last Layer (PLL, 21 algoritmos). Para que veáis lo que podéis hacer con estos movimientos, aquí tenéis un vídeo del gran David Calvo (del que os hablaremos a continuación) resolviéndolo en pocos segundos:
Recientemente, Sheldon me regaló un cubo de Rubik original, y tuve la posibilidad de comenzar a meterme en el mundillo, aunque a niveles verdaderamente irrisorios en comparación con quienes hacen speedcubing. Con el cubo incluían un DVD explicativo con los primeros pasos para comenzar a resolverlo. Estos vídeos eran presentados por David Calvo, campeón de España, record Guiness (como el de conseguir resolver 185 cubos en una hora, o sea, una media de menos de 20 segundos por cubo). Hemos tenido la suerte de contactar con el propio David, que ha resultado ser una persona abierta, afable, y muy muy cercana (muchos pueden pensar que para batir estos records hace falta ser un especimen extraño, y él es la prueba de que no es cierto). Os recomendamos su blog, donde podréis encontrar explicados con detalle los métodos de resolución, tanto el de principiantes como el avanzado, además de curiosidades, sus records personales, etc. Como podréis comprobar, existen diferentes modalidades dentro de los campeonatos, como la de resolver el cubo con una mano, la de resolver el cubo a ciegas, etc. Es cuestión de que encontréis vuestra categoría favorita, ¡y empecéis a darle al cubo!
Si finalmente os animáis a trastear con él, y queréis realizar tiempos verdaderamente rápidos, será recomendable que desmontéis vuestro cubo para lubricarlo, a ser posible con lubricante de silicona (no es recomendable usar el 3 en 1 que tenéis por casa). Para desmontar el cubo, no hay más que girar la cara superior 45 grados, y hacer palanca para sacar alguna de las aristas giradas. Después, las demás irán saliendo con facilidad. Aunque para consejos avanzados sobre cómo modificar y mejorar vuestro cubo, mejor que paséis por los links que véis más abajo, para que sean los verdaderos profesionales del cubo quienes os ilustren sobre él.
Por último, os dejamos a continuación una serie de enlaces recomendados, aunque podríamos poner cientos, para que ampliéis conocimientos sobre el cubo, y aprendáis técnicas de resolución… quién sabe, ¡quizá os encontréis con David Calvo en el próximo campeonato!
Blog de David Calvo, consejos, un foro imprescindible, métodos de resolución…: http://www.darubik.com/
Página de Carlos Angosto, también con explicaciones paso a paso, foro, consejos…: http://www.rubikaz.com/
Esperamos que nuestro artículo de hoy os anime a practicar con el cubo. En nuestro país hay una gran comunidad de speedcubers que estarán dispuestos a ayudaros en todo lo posible si pasáis por los foros de las páginas que os comentamos. Nos despedimos citando a David Calvo, con una frase tan simple como motivadora: “Tú también puedes hacerlo“.
Hoy, traemos una noticia que esperamos sea de vuestro agrado.
En Átomos y Bits, hemos decidido añadir una nueva sección a nuestro blog, que pretende poner una nota de humor en forma de frases curiosas, más o menos divertidas, que reflejan aspectos científicos o técnicos aplicados a situaciones cotidianas que ocurren en nuestras vidas sin que les demos mayor importancia.
Así, nace nuestra sección FIT, Frases Inteligentemente Tontas, en la que os invitamos a participar como siempre con vuestros comentarios y aportaciones.
Podéis acceder a dicha sección pinchando en el enlace en este mismo post, o bien en la parte superior de la página, junto a la sección “Acerca de nosotros“. Fácil, ¿verdad? Poco a poco iremos añadiendo frases a la recopilación, según vayan dándose situaciones divertidas en nuestros actos cotidianos.
Puede que muchos de vosotros conozcáis o hayáis escuchado hablar alguna vez de la entropía. Refiriéndonos al término físico, la entropía (proveniente del griego, que significa evolución o transformación) es una magnitud que mide cuanta energía de un sistema no puede utilizarse para realizar un trabajo. Dicho más coloquialmente y de forma más entendible, podemos decir que la entropía mide el grado de desorden de un sistema. A mayor desorden, mayor será la entropía.
Veamos esto con un ejemplo. Partimos de un compartimento estanco que dividiremos en dos mediante una superficie removible. En una de las partes de este compartimento introducimos, por ejemplo, Hidrógeno. En la otra parte introduciremos, por ejemplo, Oxígeno. Bien, en este punto podemos decir que nuestro sistema se encuentra en un estado ordenado (como les gustaba a nuestras madres que tuviéramos la habitación, ¿verdad?). En este estado, decimos que nuestro sistema tiene una entropía baja.
Aumento de la entropía de un sistema
Pues bien, si ahora retiramos la superficie removible permitiendo que las partículas circulen libremente por todo el compartimento, una vez transcurrido un tiempo, nos encontraremos con que las partículas se encuentran ubicadas y mezcladas al azar (¿parece lógico verdad?). Dado que lo que ha ocurrido es que hemos perdido nuestro estado ordenado, aumentando el desorden, diremos que la entropía del sistema ha aumentado. Normalmente el estado al que se llega de forma natural es al de entropía más alta.
Aumento de la entropía de un sistema
De esta forma se suele decir que el universo tiende siempre a maximizar la entropía. Y quizás sea por esto por lo que nos resulta lógico pensar, a priori, que el sistema tenderá a acabar con sus partículas mezcladas al azar, puesto que estamos acostumbrados a verlo de esta manera. En cualquier caso resultaría curioso que las partículas, de forma completamente aleatoria, acabasen ordenadas de nuevo en cada parte del compartimento (entropía baja).
Otro claro ejemplo, quizás más sencillo, que todos podemos comprender es el de la temperatura. Si juntamos dos materiales a distinta temperatura, se producirá un intercambio de calor hasta que se alcance el equilibrio térmico. Esto no es ni más ni menos que lo mismo que ya hemos visto. El orden inicial se modifica, generando el mayor desorden posible (equilibrio térmico) o maximizando la entropía.
Equilibrio térmico
Bien, pues hasta aquí llega la clase de física de hoy. Lo que a continuación os quiero contar no es más que el fruto de una mente trastornada y delirante (bueno, tampoco hay que pasarse, ¿no?).
La mayoría de la gente suele estar de acuerdo en que el propósito de cada una de las personas (olvidándonos de los instintos de la especie y demás) es la felicidad. Una vez satisfechas todas nuestras necesidades básicas, lo que buscamos es ser felices. Y también sabemos que esto resulta, a veces, complicado ya que no dejan de ocurrirnos cosas que, en mayor o menor medida, afectan a nuestro bienestar.
Pues bien, desde hace un tiempo me gusta ver este sistema del bienestar desde el punto de vista de la física, más concretamente desde el punto de vista termodinámico, o, específicamente, desde la entropía.
De esta manera, he definido la entropía del bienestar como el grado de desorden de nuestra felicidad. Cuando somos bebés y no tenemos preocupaciones nos encontramos en un estado, más o menos, ordenado. Según van sucediendo cosas a lo largo de nuestra vida este estado va cambiando, el orden se torna en desorden y el desorden en caos. Esto no hay manera de evitarlo, la vida se complica. Pero, si bien no podemos evitar que la vida siga su curso, añadiendo nuevas variables y complicaciones a nuestra existencia (algunos dirán que es culpa de Murphy), sí que podemos, de manera activa, influir en nuestra propia entropía del bienestar. O al menos me gusta pensar que un poco.
Mucha gente, sin saberlo, ya lo hace. Hay gente que va de compras cuando está triste, otros comen helado (sí, sí, como en las películas!), otros consiguen sentirse mejor ayudando a otras personas… Las combinaciones son innumerables.
Yo personalmente, cuando tengo malos ratos en el día, muchas veces pienso: “no puede ser, debo disminuir mi entropía del bienestar” y me compro chocolate (típico, ¿no?) o hago algo que me aporte felicidad. Todo depende de lo que nos haya causado ese desorden.
Pero tened en cuenta que esto es sólo a nivel personal, a nivel microscópico en la escala del mundo. ¡Imaginaos lo que se podría hacer a gran escala!
La única diferencia con la magnitud física que hemos visto al comienzo de este artículo es que, en aquella, no es tan fácil influir.
Quizás no sea suficiente, quizás a algunos no les haga falta, quizás otros ya lo vean así, pero ahora que nos encontramos en tiempos de celebración, que nos juntamos en familia para devorar cochinillos, pavos, turrones y dulces… además de pensar en cómo nos vamos a quitar esos kilitos de más, deberíamos pensar en si nos los merecemos. Es hora de pensar en cómo ha ido el año, es hora de pensar si debemos disminuir nuestra entropía del bienestar.
Las pequeñas cosas pueden estropearnos el día y las pequeñas cosas pueden arreglárnoslo. A veces pienso que le doy demasiadas vueltas a las cosas… ¿o será un subidón de azúcar? No sé si este año me he ganado el turrón…
Por supuesto no puedo dejar pasar la oportunidad para desearos a todos unas Felices Fiestas, un próspero Año Nuevo y una bajísima Entropía del Bienestar!!
Hoy os traemos un post con más contenido de curiosidad que de ciencia, pero aún así da para comentar algunos aspectos relacionados con los rascacielos y la geometría.
Resulta que hace unos días encontré en Google Maps, de casualidad, una imagen que me llamó la atención. No le di mayor importancia, pero el otro día lo comenté con Sheldon, y me sugurió que lo posteara en Átomos y Bits, como curiosidad… y al final me he animado.
Seguramente muchos de vosotros conozcáis las famosas Torres Kio, en Madrid. Se trata de una pareja de torres situadas en la Plaza de Castilla, en el Paseo de la Castellana de Madrid. En realidad, el verdadero nombre de estas torres es “Torres Puerta de Europa“. El apodo de KIO procede de “Kuwait Investments Office”, la empresa promotora de la obra. Fueron inauguradas en 1996 (aunque empezaron a construirse en 1989), y son obra de los arquitectos Philip Johnson y John Burgee. Tienen una inclinación de 14,3º, una altura de 114,7 metros, y 26 plantas en su interior. Además, cada torre tiene un helipuerto en su planta superior.
Pues bien, ¡resulta que no son las únicas torres inclinadas que hay en Madrid! Al menos para Google Maps
Torres Puente de Segovia
En la capital, exite otra pareja de torres, más bajas que las Kio, pero aún así cuentan con 19 plantas y 64 metros de altura cada una. Son las torres situadas entre el Puente de Segovia y el Paseo de Extremadura, y éstas son paralelas en vez de inclinadas. Ahora bien, si las buscamos en Google Maps (o Google Earth), veremos que parecen estar inclinadas y que dicha inclinación se asemeja bastante a la de las Torres Kio. Aunque, si lo vemos a través de Google Earth y activamos la capa de Edificios 3D, podremos observar la forma correcta de dichas torres. La ubicación de estas torres es 40°24′50.62″N 3°43′28.48″O
Simulación 3D Torres Puente de Segovia paralelas
Simulación 3D Torres Puente de Segovia paralelas - Vista superior
Haciendo unos simples cálculos trigonométricos (y aproximaciones, ya que se trata sólo de obtener un dato aproximado de la inclinación apreciada en las fotografías), podemos ver que, para una altura de 64 metros según los datos encontrados en la web, y para una distancia desde el borde de la base a la proyección del borde de la última planta (esto podemos observarlo en Google Earth con la herramienta Regla) de unos 15 metros aproximadamente, tenemos el siguiente esquema:
Esquema del cálculo de la inclinación
Aproximación del cálculo de la distancia base-proyección de cima.
Así, podemos calcular que el ángulo α, que será la inclinación aproximada de la torre, es el arctg(15/64) = 13,2º esto es, ¡¡1,1º menos que las Torres Kio!! O sea, que se parecen bastante a las mismas. Y lo curioso es que no se trata de un efecto de geometría, sino de la unión de dos fotografías satélite diferentes justo entre ambas torres, ya que no hay forma de que pudíeramos ver desde una posición superior a las torres las fachadas más alejadas del punto de observación simultáneamente. Si estuviéramos justo a la altura de 64 metros sobre el suelo, veríamos sólo las fachadas internas de las torres. Y a una distancia tendiendo a infinito, veríamos las torres paralelas. Pero no podríamos observar simultáneamente las dos fachadas externas de las mismas si no están inclinadas, porque cuanto más nos desplazáramos para poder ver la fachada externa de una de las torres, menos veríamos la de la otra. Podéis comprobarlo fácilmente con Google Earth, activando la visión de Edificios 3D, y jugando un poco con la cámara sobre las torres:
Diferentes ángulos de visión
En fin, como véis, se pueden encontrar curiosidades en todo lo que nos rodea, basta estar atentos para encontrarlas… Y Google Maps es un buen lugar para localizar multitud de ellas cuando estemos aburridos.
Esperamos que este post os haya resultado interesante, ¡y que compartáis con nosotros cualquier curiosidad que encontréis por ahí!
Desde Átomos y Bits, os deseamos una Feliz Navidad, Feliz Año Nuevo y en general felices fiestas a todos, seáis de la religión que seáis, y sigáis el calendario que sigáis
Volveremos en 2010 con más temas, cosas absurdas, cosas curiosas, cacharritos, formulitas, y demás asuntos derivados, cómo no, del Big Bang.
De nuevo en Átomos y Bits volvemos a la carga con un post que llevaba tiempo queriendo escribir. A menudo hablamos sobre diferentes teorías matemáticas, físicas, ecuaciones, etc., que no siempre se encuentran con facilidad en la vida diaria (o mejor dicho, no nos percatamos de que están ahí tan fácilmente). En esta ocasión, no quería dejar pasar la oportunidad de compartir con vosotros mi verdadera admiración hacia el conocido “Efecto Mariposa“.
El Efecto Mariposa dice básicamente que el aleteo de una mariposa en un lugar del mundo, podría llegar a desatar un huracán en el otro extremo del globo. Esto no es más que una forma elegante de referirse a una realidad englobada en el marco de la Teoría del Caos. La base del efecto mariposa subyace en que una ligera variación de las condiciones iniciales en un sistema puede provocar grandes variaciones en los resultados finales del mismo. Pero no siempre se darán las condiciones para que esto ocurra, como veremos a continuación.
Ya en la carrera nos hablaron de sistemas estables e inestables, que es una forma de aproximarse a los efectos que la Teoría del Caos puede tener sobre las telecomunicaciones (por ejemplo). Pero si nos centramos en la física tradicional, la clasificación que podemos hacer de los sistemas es un poco diferente. Cuando tratamos sistemas dinámicos (esto es, los que sufren alguna variación de sus condiciones desde el momento inicial), podemos observar tres comportamientos diferentes:
Sistemas estables: se llaman así aquellos cuya variación les hace tender a un estado/posición a lo largo del tiempo. Podemos interpretarlo como que presentan un atractor que les llevaría a un estado menor de energía y, por tanto, más estable para ellos. Imaginémoslo como si dejáramos rodar una canica en el borde de un tazón de cereales: después de varios giros, ascensos y descensos por el interior del tazón, la canica tenderá a asentarse en el fondo del mismo.
Sistemas inestables: el lado opuesto. Tienden a escaparse de su atractor, y se caracterizan entre otras cosas porque una pequeña variación en sus condiciones iniciales puede llevar a muy diferentes estados finales.
Sistemas caóticos: se encuentran a caballo entre los anteriores. Los atractores hacen que tiendan hacia ellos, pero se encuentran otra serie de factores que les alejan de dichos “puntos”. Por tanto el resultado queda delimitado por una zona de influencia de ambas componentes, de la cual el sistema no podría salir, pero dentro de la cual su estado concreto es impredecible (esto nos recuerda al Principio de Incertidumbre…)
Para que un sistema sea caótico, debe cumplir una serie de características, como contar con un elevado número de órbitas que compongan un conjunto denso en una región compacta del espacio. Pero además, como se comentó anteriormente, deben ser sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Dicha sensibilidad se relaciona con el Exponente Lyapunov, que determina el grado de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas en el espacio, aunque dicha separación puede ser diferente, según las orientaciones iniciales de dos trayectorias dadas (imaginemos un cilindro que será nuestra trayectoria inicial; una segunda trayectoria será un cilindro cercano al anterior, pero con una orientación diferente, que se separará del inicial de una forma u otra dependiendo de la posición relativa a él, ya que podemos situarlos en infinitas posiciones uno respecto al otro). Ello nos da una colección de diferentes valores del exponente, aunque se trabaja con el mayor de ellos (que será el que tenga mayor peso a la hora de predecir futuros estados del sistema).
En cuanto a atractores, podemos hablar largo y tendido sobre ellos, y podrían suponer en sí mismos otro post completo. Si observamos la evolución en el tiempo de un sistema, podemos representar una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito, la trayectoria sólo ocupará un subespacio del espacio de estados, denominado atractor. El atractor es la representación geométrica de la dinámica del sistema en el tiempo; los atractores pueden ser caracterizados por sus dimensiones. Un atractor de dimensión 0 corresponde a un sistema estático: el sistema no cambia en el tiempo. Un atractor de dimensión 1 corresponde a un sistema periódico, en el cual un número finito de estados se repiten indefinidamente. Un atractor de dimensión 2 y mayores corresponde a un sistema cuasi-periódico. Un ejemplo típico de atractor periódico es el que puede guiar el movimiento de un péndulo (en el que influirán muchos otros factores externos que en conjunto definirán la posición exacta del péndulo en cada momento, alrededor de un punto central). Además de estos, existen los atractores extraños, que definen trayectorias más complicadas en el espacio de estados del sistema. Uno de los más conocidos es el Atractor de Lorenz, presente en el estudio que Edward Lorenz desarrolló en los años 60 sobre un modelo tridimensional para el conocimiento del comportamiento atmosférico.
Atractor de Lorenz
Relacionado con todos los conceptos introducidos hasta ahora, encontramos la parte más “artística” de la Teoría del Caos: los fractales. Un fractal viene a ser la representación gráfica del comportamiento de un sistema caótico, y se caracteriza por su autosimilitud (sus partes tienen la misma forma que el todo, pero a diferentes escalas). No hace falta que la autosimilitud sea exacta para poder aceptar un patrón como fractal. De hecho, la propia definición de fractal es algo sobre lo que hay multitud de versiones y ninguna de ellas ofrece una visión lo bastante amplia como para que englobe todos los tipos de fractales existentes. Algunos de los más conocidos son los Conjuntos de Julia, el Copo de nieve de Koch, los fractales Mandelbrot, etc.
Fractales de Lorenz proyectados
Conjunto de Mandelbrot
Copo de nieve de Koch
Como recurso útil, os dejamos esta dirección http://www.apophysis.org/downloads.html en la que podéis obtener el programa Apophysis, freeware, para que comencéis a realizar vuestros fractales y disfrutéis de estas representaciones matemáticas tan vistosas. Otro programa “ready-to-go” es el Sterling2, que podéis encontrar en http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html y que os permitirá crear fractales en cuestión de segundos.
Por último, para acabar con este post, me gustaría hablar de la parte humana del Efecto Mariposa. Reconozco que me gusta pensar en ello, casi de manera enfermiza, y empezar a quebrarme los sesos pensando: “¿Donde estaría yo ahora si hubiera hecho tal o cual?”, “¿Qué pasaría si esta mañana hubiera ido en metro en vez de en coche al trabajo?”, “¿Qué pasaría si no hubiera enviado ese SMS aquel día a aquella persona?… Creo que muchas personas no son conscientes de que un pequeñísimo cambio en cualquiera de estas tonterías diarias, puede suponer un giro de 180º en sus vidas. No sé si vosotros creéis en el destino o no, a mi me gusta pensar que estoy donde estoy gracias a una serie de carambolas que me han traido hasta aquí, quizá porque una mariposa estaba volando en Australia. Por eso, nos gustaría que aquellos que leáis este artículo y os sintáis identificados con ello, dejéis un comentario con alguno de estos momentos “tontos” que habéis tenido y que creéis que han cambiado para siempre vuestra vida… ¡nos encantaría conocerlos!
Empiezo yo: si hace unos años no me hubiera conectado a un programa de simulador de control de tráfico aéreo para pasar un rato, probablemente no conocería a Sheldon, y no seríamos compañeros de trabajo, y… ¡cuántas cosas nos estaríamos perdiendo! ¡Vosotros no podríais disfrutar de Átomos y Bits!
