Átomos y Bits

¡Buenas tardes queridos lectores!

De nuevo en Átomos y Bits volvemos a la carga con un post que llevaba tiempo queriendo escribir. A menudo hablamos sobre diferentes teorías matemáticas, físicas, ecuaciones, etc., que no siempre se encuentran con facilidad en la vida diaria (o mejor dicho, no nos percatamos de que están ahí tan fácilmente). En esta ocasión, no quería dejar pasar la oportunidad de compartir con vosotros mi verdadera admiración hacia el conocido “Efecto Mariposa“.

El Efecto Mariposa dice básicamente que el aleteo de una mariposa en un lugar del mundo, podría llegar a desatar un huracán en el otro extremo del globo. Esto no es más que una forma elegante de referirse a una realidad englobada en el marco de la Teoría del Caos. La base del efecto mariposa subyace en que una ligera variación de las condiciones iniciales en un sistema puede provocar grandes variaciones en los resultados finales del mismo. Pero no siempre se darán las condiciones para que esto ocurra, como veremos a continuación.

Ya en la carrera nos hablaron de sistemas estables e inestables, que es una forma de aproximarse a los efectos que la Teoría del Caos puede tener sobre las telecomunicaciones (por ejemplo). Pero si nos centramos en la física tradicional, la clasificación que podemos hacer de los sistemas es un poco diferente. Cuando tratamos sistemas dinámicos (esto es, los que sufren alguna variación de sus condiciones desde el momento inicial), podemos observar tres comportamientos diferentes:

• Sistemas estables: se llaman así aquellos cuya variación les hace tender a un estado/posición a lo largo del tiempo. Podemos interpretarlo como que presentan un atractor que les llevaría a un estado menor de energía y, por tanto, más estable para ellos. Imaginémoslo como si dejáramos rodar una canica en el borde de un tazón de cereales: después de varios giros, ascensos y descensos por el interior del tazón, la canica tenderá a asentarse en el fondo del mismo.
• Sistemas inestables: el lado opuesto. Tienden a escaparse de su atractor, y se caracterizan entre otras cosas porque una pequeña variación en sus condiciones iniciales puede llevar a muy diferentes estados finales.
• Sistemas caóticos: se encuentran a caballo entre los anteriores. Los atractores hacen que tiendan hacia ellos, pero se encuentran otra serie de factores que les alejan de dichos “puntos”. Por tanto el resultado queda delimitado por una zona de influencia de ambas componentes, de la cual el sistema no podría salir, pero dentro de la cual su estado concreto es impredecible (esto nos recuerda al Principio de Incertidumbre…)

Para que un sistema sea caótico, debe cumplir una serie de características, como contar con un elevado número de órbitas que compongan un conjunto denso en una región compacta del espacio. Pero además, como se comentó anteriormente, deben ser sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Dicha sensibilidad se relaciona con el Exponente Lyapunov, que determina el grado de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas en el espacio, aunque dicha separación puede ser diferente, según las orientaciones iniciales de dos trayectorias dadas (imaginemos un cilindro que será nuestra trayectoria inicial; una segunda trayectoria será un cilindro cercano al anterior, pero con una orientación diferente, que se separará del inicial de una forma u otra dependiendo de la posición relativa a él, ya que podemos situarlos en infinitas posiciones uno respecto al otro). Ello nos da una colección de diferentes valores del exponente, aunque se trabaja con el mayor de ellos (que será el que tenga mayor peso a la hora de predecir futuros estados del sistema).

En cuanto a atractores, podemos hablar largo y tendido sobre ellos, y podrían suponer en sí mismos otro post completo. Si observamos la evolución en el tiempo de un sistema, podemos representar una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito, la trayectoria sólo ocupará un subespacio del espacio de estados, denominado atractor. El atractor es la representación geométrica de la dinámica del sistema en el tiempo; los atractores pueden ser caracterizados por sus dimensiones. Un atractor de dimensión 0 corresponde a un sistema estático: el sistema no cambia en el tiempo. Un atractor de dimensión 1 corresponde a un sistema periódico, en el cual un número finito de estados se repiten indefinidamente. Un atractor de dimensión 2 y mayores corresponde a un sistema cuasi-periódico. Un ejemplo típico de atractor periódico es el que puede guiar el movimiento de un péndulo (en el que influirán muchos otros factores externos que en conjunto definirán la posición exacta del péndulo en cada momento, alrededor de un punto central). Además de estos, existen los atractores extraños, que definen trayectorias más complicadas en el espacio de estados del sistema. Uno de los más conocidos es el Atractor de Lorenz, presente en el estudio que Edward Lorenz desarrolló en los años 60 sobre un modelo tridimensional para el conocimiento del comportamiento atmosférico.

Atractor de Lorenz

Relacionado con todos los conceptos introducidos hasta ahora, encontramos la parte más “artística” de la Teoría del Caos: los fractales. Un fractal viene a ser la representación gráfica del comportamiento de un sistema caótico, y se caracteriza por su autosimilitud (sus partes tienen la misma forma que el todo, pero a diferentes escalas). No hace falta que la autosimilitud sea exacta para poder aceptar un patrón como fractal. De hecho, la propia definición de fractal es algo sobre lo que hay multitud de versiones y ninguna de ellas ofrece una visión lo bastante amplia como para que englobe todos los tipos de fractales existentes. Algunos de los más conocidos son los Conjuntos de Julia, el Copo de nieve de Koch, los fractales Mandelbrot, etc.

Fractales de Lorenz proyectados

Conjunto de Mandelbrot

Copo de nieve de Koch

Como recurso útil, os dejamos esta dirección http://www.apophysis.org/downloads.html en la que podéis obtener el programa Apophysis, freeware, para que comencéis a realizar vuestros fractales y disfrutéis de estas representaciones matemáticas tan vistosas. Otro programa “ready-to-go” es el Sterling2, que podéis encontrar en http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html y que os permitirá crear fractales en cuestión de segundos.

Por último, para acabar con este post, me gustaría hablar de la parte humana del Efecto Mariposa. Reconozco que me gusta pensar en ello, casi de manera enfermiza, y empezar a quebrarme los sesos pensando: “¿Donde estaría yo ahora si hubiera hecho tal o cual?”, “¿Qué pasaría si esta mañana hubiera ido en metro en vez de en coche al trabajo?”, “¿Qué pasaría si no hubiera enviado ese SMS aquel día a aquella persona?… Creo que muchas personas no son conscientes de que un pequeñísimo cambio en cualquiera de estas tonterías diarias, puede suponer un giro de 180º en sus vidas. No sé si vosotros creéis en el destino o no, a mi me gusta pensar que estoy donde estoy gracias a una serie de carambolas que me han traido hasta aquí, quizá porque una mariposa estaba volando en Australia. Por eso, nos gustaría que aquellos que leáis este artículo y os sintáis identificados con ello, dejéis un comentario con alguno de estos momentos “tontos” que habéis tenido y que creéis que han cambiado para siempre vuestra vida… ¡nos encantaría conocerlos!

Empiezo yo: si hace unos años no me hubiera conectado a un programa de simulador de control de tráfico aéreo para pasar un rato, probablemente no conocería a Sheldon, y no seríamos compañeros de trabajo, y… ¡cuántas cosas nos estaríamos perdiendo! ¡Vosotros no podríais disfrutar de Átomos y Bits!