Volvemos una vez más con un tema que tratamos a diario sin que muchos de nosotros lleguemos a darnos siquiera cuenta de ello. Se trata de la frecuencia, presente en prácticamente todos los aspectos de nuestra vida cotidiana, pero invisible para nuestra mente habituada a trabajar en el dominio del tiempo.
En realidad, la frecuencia en sí misma es un tema tan inmensamente amplio, que no podríamos cubrirlo entero ni en un año de posts, así que esto será simplemente una serie de pinceladas, que ayudarán a los menos iniciados en el tema a comprender un poco mejor este concepto.
La frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones de un determinado fenómeno o suceso periódico. Con esta descripción tan amplia, no es de extrañar que tenga aplicaciones en numerosísimos campos de nuestra vida. Su unidad es el hercio, en honor a Heinrich Rudolf Hertz . Un hercio no es más que una repetición de un evento periódico en un segundo. Dicho de otra forma, 1 Hz = 1/s. Por tanto sus unidades nos indican una relación inversa al tiempo.
Podemos encontrar frecuencia en cualquier evento que se repita. Por ejemplo, el número de ciclos por segundo con que es capaz de operar el microprocesador de un ordenador, o el reloj de nuestra tarjeta gráfica, o las vibraciones que producen un determinado sonido, o las ondas implicadas en una comunicación entre un emisor de radio y nuestra radio de toda la vida… Si consiguierais leer 5 artículos de Átomos y Bits por segundo, estaríais leyendo artículos con una frecuencia de 5 hercios. Como veis, muchas cosas son susceptibles de explicarse en términos de frecuencia. El espectro de frecuencias está dividido en una serie de bandas, cada una de las cuales presenta unas determinadas características a la hora de ser utilizadas para telecomunicaciones.
Bandas de frecuencia. Fuente: Wikipedia
Hay varios conceptos importantes relacionados directamente con la frecuencia. Uno de ellos muy utilizado en todo lo relacionado con señales, es el período de una señal. El período (normalmente expresado como “T”) no es más que el tiempo que transcurre entre una repetición del evento y la siguiente. Se calcula como el inverso de la frecuencia (T=1/f). Las señales de variación más lenta tendrán un período mayor que las de variación más rápida, o sea, a mayor frecuencia menor período, y viceversa.
Otra idea que es básica en todo lo relacionado con la frecuencia, es la longitud de onda, magnitud inversamente proporcional a la frecuencia, en al que interviene también la velocidad de la propia onda (habitualmente suele aproximarse por la velocidad de la luz en el vacío), según la siguiente igualdad:
Esta magnitud nos dice cuánto espacio mide un período de la señal, una repetición. Dicho de otra forma, nos dice el espacio que hay entre dos puntos en los que, al pasar la onda por ellos, produciría una amplitud similar (en módulo y fase) del campo electromagnético. Para que nos hagamos una idea, una onda de 2 mHz (milihercios) tiene una longitud de onda aproximadamente igual a la distancia entre la Tierra y el Sol. Esto tiene sus implicaciones: en telecomunicaciones existen ciertas limitaciones a la hora de transmitir en onda larga, y es que las antenas deben guardar una cierta proporción con respecto a la longitud de onda en que se está trabajando. A menudo, suelen medir λ/4 (aunque la Torre de Radio de Varsovia tenía una longitud de λ/2), pero por efecto espejo con la tierra, equivale a tener una antena de altura λ/4 hacia el cielo, y otra simétrica de “profundidad” λ/4 hacia el suelo, por tanto es una longitud total de λ/2. Evidentemente, si se desea trabajar en esa banda de frecuencias tan bajas, existen ciertos límites ya que no podemos construir antenas de una altura exagerada por todos los problemas que dicha construcción implicaría.
Antena Marconi típica de onda corta. Fuente: http://freeradionova.com/
Bien, llegados a este punto ya tenemos una idea un poco más clara de en qué consiste la frecuencia. Pero, ¿por qué se utiliza tanto cuando hay que trabajar con ondas? ¿No sería más sencillo expresarlo todo en función del tiempo? Puede parecer que sí, pero en realidad trabajar con frecuencias tiene sus ventajas. Para empezar, poder “mover” las señales de una frecuencia a otra, montando una señal de una cierta frecuencia en otra de una frecuencia superior, es una de las claves del progreso tecnológico que experimentamos hoy en día. Consiste en que una onda (la portadora) varíe alguno de sus parámetros (su amplitud, su frecuencia…) en función de las variaciones de otra onda (la moduladora), que es la información que queremos transmitir. Seguramente conoceréis este uso de la frecuencia con el nombre de modulación. Esta técnica permite aprovechar mucho mejor el canal de comunicaciones, hacerlo más resistente frente al ruido, y poder enviar más información simultáneamente a través del mismo canal. Existen un gran número de tipos de modulaciones posibles: AM (modulación en amplitud), FM (modulación en frecuencia), PM (modulación en fase), DSB (en doble banda lateral), QAM (amplitud en cuadratura), etc., cada una con sus ventajas y sus inconvenientes.
Onda de baja frecuencia (portadora, las dos de abajo) puede modularse en amplitud (AM, varía la amplitud) o en frecuencia (FM, varía la frecuencia). (Fuente: Wikipedia)
Vale, ya hemos visto que podemos expresar la información de las ondas en función de la frecuencia (teóricamente, cualquier onda por extraña que sea puede ser expresada como una suma de infinitas ondas a diferentes frecuencias), pero ¿cómo se realiza este paso de ondas en el dominio del tiempo a ondas en el dominio de la frecuencia? Gracias a una herramienta muy útil: la Transformada de Fourier, que puede ser expresada de forma general mediante la siguiente ecuación:
Trabajando con transformadas, podemos operar con relativa facilidad dos señales, además de poder observar sus características espectrales con mucha comodidad (por ejemplo para ver en qué parte del espectro de frecuencias se concentra la mayor parte de su potencia). Por ejemplo, si trabajamos con la clásica señal “seno” o “coseno”, sus transformadas de Fourier no son más que dos picos (o deltas) de energía, uno en la frecuencia +w y otro en la frecuencia simétrica -w. Son muy numerosas las características propias de las operaciones con señales y con sus transformadas que hacen interesante el uso de esta herramienta (por ejemplo, las transformadas de la multiplicación de dos señales, o de laconvolución de dos señales), pero su estudio se escapa del alcance de este post, aunque os invitamos a que les echéis un vistazo si el tema os resulta interesante.
Para terminar, os comentaré que trabajar con cada rango del espectro tiene sus ventajas e inconvenientes, y por ello las comunicaciones se dan en unas u otras frecuencias dependiendo de los requisitos que se quieran cumplir. Así, por ejemplo, trabajar en Onda Corta nos permite cubrir largas distancias, ya que la onda rebota a diferentes alturas (a mayor frecuencia mayor altura), pudiendo hacerlo incluso en la ionosfera, y llegando así a puntos con los que el emisor no tiene línea de visión directa. Dentro de esta banda, hay sub-bandas más adecuadas para transmitir de noche o transmitir de día. Si se trabaja a mayores frecuencias, la absorción causada por obstáculos, nubes, etc., tiene mayor efeto en la comunicación, con lo que las pérdidas aumentan. Cada rango de frecuencias presenta unas determinadas características de atenuación intrínseca y de pérdidas, que determinan el uso que se puede hacer de ellas.
Los gases y vapores atmosféricos también introducen atenuación en los radioenlaces de alta frecuencia. Fuente: www.radioptica.com
En fin, queridos lectores, con este tema abrimos todo un abanico de otros posibles temas a tratar, como son los radioenlaces, las interferencias, las comunicaciones por satélite, las comunicaciones móviles, etc. Esperamos que os haya resultado interesante, y que si bien es sólo introductorio, os permita tener una idea mejor de qué se esconde detrás de una palabra tan frecuente como frecuencia. ¡Hasta pronto!
Hace ya un tiempo que no escribimos ningún post, y he de deciros que no hay ningún motivo en concreto para ello. Seguramente se haya debido a una mezcla de cansancio acumulado, trabajo, responsabilidades que absorben mucho tiempo, etc. Pero lo importante es… ¡que estamos de vuelta!
El principio, enunciado por Vilfredo Pareto en el año 1895, nos dice a grandes rasgos que si tomamos una población, podremos comprobar que hay dos grupos de individuos. Un grupo, de aproximadamente el 20% del total de personas, acumulará el 80% de algo, mientras que el 80% restante de individuos tendrá sólo el 20% de ese mismo algo. Dado que Pareto llegó a este resultado de forma empírica, mediante la observación y el análisis de los datos que tomaba, estos resultados no son analíticos, y pueden variar según el caso. Aunque los valores reales de porcentajes se encontrarán en una campana de Gauss centrada en el 20% y el 80% respectivamente.
Pareto aplicaba estas conclusiones al ejemplo concreto de el poder político y económico en una población: el 20% del grupo acumulaba el 80% de los recursos económicos y del peso político, mientras que el 80% restante (las masas) se repartía sólo el 20% de esos mismos aspectos.
Sin embargo, el descubrimiento no se quedó ahí, sino que puede ser extrapolado a multitud de campos, desde el control de calidad en proyectos, hasta el desarrollo de software, o el comercio y el análisis de ventas. Por ejemplo, en el mundo del comercio, las empresas pueden observar normalmente que el 20% de sus clientes les genera el 80% de sus ingresos, y viceversa. En ingeniería de software, se observa que el 20% del código escrito ha consumido el 80% del tiempo de trabajo y de recursos, y viceversa. En logística (donde más se utiliza la denominación de “distribución ABC”), se agrupan los productos en porcentajes según su demanda. El primer 20% serán los productos “A”, el siguiente 30% serán “B” y el 50% restante serán “C”; así, tendremos que controlar con gran detalle el stock de productos “A”, ya que nos generarán el 80% de los movimientos del almacén.
Si nos centramos en el control de calidad, una de las áreas de la Dirección de Proyectos, observaremos que el 20% de los procesos nos generarán el 80% de los problemas. Entra aquí en juego el diagrama de Pareto, una forma de representar una serie de prioridades. En Dirección de Proyectos, el diagrama se utiliza para mostrar, ordenando por frecuencia de aparición, cuántos efectos vienen derivados de un determinado problema. Se organiza en un diagrama en el que se sitúan de izquierda a derecha las causas de problemas, según su porcentaje de aparición. Es una forma de decir que existen pocos procesos vitales, y muchos procesos triviales. Por tanto, quiere decir que la relación entre causas y efectos no es una relación lineal.
Así, mediante el diagrama de Pareto, tendremos de un vistazo una visión general de las causas y problemas en el proyecto, y podremos identificar fácilmente sobre cuáles tendremos que actuar, reduciendo aquellas causas que causan más problemas, para optimizar la calidad del proyecto, de forma que nuestros recursos económicos y humanos sean asignados de la forma más eficiente posible. Como ejemplo, os dejamos un diagrama de Pareto que muestra cuáles son las causas que han causado la mayor parte de los problemas que nos han hecho tardar tanto en escribir un post en Átomos y Bits Evidentemente son datos inventados, y son pocas posibles causas. Si repetís esto mismo con datos reales y mayor número de causas, veréis como los resultados empiezan a acercarse al 20-80.
Diagrama de ejemplo de Átomos y Bits
Si queréis probar a generar vuestros propios diagramas de Pareto, existen herramientas gratuitas en Internet que os permiten hacerlo online. El diagrama que veis arriba está hecho con la herramienta de Pareto Tool Online.
En la vida diaria, si escribiéramos en una lista 10 tareas a realizar, tendríamos que 2 de esas tareas nos generarán el 80% del valor, mientras que las 8 restantes nos generarán sólo el 20% del valor. Es conveniente, por tanto, trabajar en tareas del 20% vital. Esto puede ayudarnos a gestionar nuestro tiempo mejor, para optimizarlo en la medida de lo posible, siempre que seamos disciplinados y que sepamos identificar correctamente los grupos de tareas.
Bueno, con este breve post sobre algo tan cotidiano que quizá nunca le habíamos prestado la suficiente atención, nos despedimos por ahora. Esperamos que os haya resultado interesante, ¡y que leer Átomos y Bits esté en el 20% de las cosas que os aportan el 80% de la felicidad diaria!
En esta lluviosa y fría época de un invierno que parece no terminar nunca, os traemos un post que tratará de acercaros un poco el mundo de uno de los puzzles más famosos del mundo: el Cubo de Rubik.
Cubo de Rubik original
Vamos a explicar un poco la historia del cubo de Rubik o Cubo Mágico, sus variantes, su funcionamiento, y algunas curiosidades matemáticas sobre el mismo. Además, os daremos algunas pistas para poder resolverlo (no somos especialistas en el tema ni mucho menos, así que sólo haremos una brevísima introducción a uno de los métodos de resolución), y os proveeremos de una serie de links muy útiles y recomendables si os decidís a adentraros en el mundo del Cubo (NOTA IMPORTANTE: es altamente adictivo, do it at your own risk.)
Comenzaremos diciendo que anteriormente al Cubo de Rubik (CR en adelante, para abreviar), existieron otros parecidos, aunque con mecanismos diferentes. En marzo de 1970, nació el cubo de 2x2x2, que utilizaba imanes en sus piezas. Un mes después, apareció el esférico 3x3x3 de Frank Fox. Ambos inventos fueron patentados (en Canadá y EEUU el primero, y en Reino Unido el segundo). No fue hasta el año 1974 que un escultor y profesor de arquitectura húngaro llamado Ernö Rubik lanzó su cubo, que obtuvo una patente húngara ( HU170062) en 1975. Éste cubo brillaba por su ensamblaje interior, que carecía de imanes. En lugar de éstos, las piezas se unían mediante huecos y salientes, lo que hacía más barata la construcción del puzzle. En 1977 estaba a la venta sólo en Budapest, y salió de Hungría en 1980. Dejando de lado los problemas de patentes, plagios, demandas, imitadores (más o menos afortunados) y demás, podemos decir que el CR ya ha cumplido 30 años de vida, y está en plena forma.
Ernö Rubik
En cuanto a su inventor, Ernö Rubik, se dice de él que es un hombre muy reservado, que rara vez se deja ver en noticias relacionadas con el cubo (aunque ha asistido a algún campeonato, de manera excepcional), y que cuando creó el cubo no sabía si habría alguna forma de resolverlo que no fuera deshaciendo uno a uno los movimientos que desordenan las caras del cubo.
Observando la foto, ¿no le véis un cierto parecido con Sheldon Cooper cuando tenga 65 años? Si nos están leyendo los guionistas de The Big Bang Theory, sería un detalle muy divertido si consiguieran llevar a Rubik a participar en algún capítulo de la serie… podría hacer incluso el papel de futuro Sheldon
En la actualidad, el cubo de 3x3x3, que es el original de Rubik, es sólo uno de los múltiples modelos que podemos encontrar. Ahora existen variantes en 2x2x2, 3x3x3, 4x4x4, 5x5x5, 6x6x6, 7x7x7 (los famosos V-Cube), incluso 12x12x12 (no sé hasta que punto funciona éste…). Los hay irregulares, con formas cuadradas, redondas, piramidales… Los hay con caras de colores o con caras numeradas. Los hay con huecos en el centro de las caras o macizos. Incluso los hay electrónicos. En fin, todo un elenco de posibilidades, que retarán hasta a las mentes más brillantes a romperse la cabeza. Aquí tenéis una imagen resumen de algunos de los tipos de cubos más conocidos (pinchad en ella para verla más grande):
Algunos tipos de puzzles basados en el Cubo de Rubik
En cuanto al funcionamiento del cubo, es tan sencillo como elegante. Si nos fijamos en su estructura, veremos que tiene 26 piezas (3x3x3 menos la pieza central). En el cubo encontramos 6 piezas centrales (una en cada cara) que definen el color de la cara en que se encuentran. Dichas piezas, están ancladas a un mecanismo central interior mediante tornillos (si somos afortunados, ya que permiten realizar algunos ajustes en el cubo) o remaches, que permite los giros de 360º de los ejes de cada una de ellas. Cada una de estas piezas tiene un solo color. Además, tenemos 8 piezas de esquinas o vértices, cada una de ellas con 3 colores, ya que en ellas coinciden 3 caras. Por último, hay 12 piezas de tipo aristas, situadas en los bordes, entre dos piezas vértice, y que tienen dos colores por ser la unión de dos caras. Las piezas de tipo vértice tienen un pequeño saliente en su interior, que las mantiene encajadas en la estructura del cubo, dándole una gran versatilidad a la vez que sin dejarlas caer incluso cuando giramos una cara 45º y parece que la pieza se va a salir. El saliente de las aristas es un poco más grande, lo cual le da mayor estabilidad sin interferir en el movimiento del resto de las piezas. Si pudiéramos ver el cubo desde dentro cuando está montado, veríamos una serie de huecos que conforman un hueco mayor en cada cara, de forma cilíndrica (casi esférica), como si todo el cubo girara en torno a una esfera interior que en realidad es un hueco.
Estructura interior del cubo
Ahora viene la parte que muchos de vosotros estábais esperando: las matemáticas del cubo. Para averiguar cuántas permutaciones posibles nos ofrecen las piezas del CR, debemos tener en cuenta que podemos combinar todos los picos de cualquier manera, lo que da lugar a 8! posibilidades. De igual modo, podemos combinar como queramos las aristas, lo que nos ofrece un total de 12! posibilidades. Pero conjuntamente, debemos tener en cuenta que la permutación total de vértices y aristas debe ser par (se escribirá como composición de un número par de trasposiciones). Por teoría de permutaciones, tenemos que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Por tanto, nos quedaremos con la mitad de las que llevábamos calculadas, que serán las pares. Además, en el cubo, podremos rotar todos los vértices como queramos excepto uno, sin alterar el resto del cubo. La orientación de los 7 primeros vértices fijará la del 8º, así tenemos 37 posibilidades. En el caso de las aristas, ocurre igual (11 aristas nos determinarán la posición de la última), por tanto tendremos 211 posibilidades. Multiplicando todas las posibilidades calculadas y diviendo entre dos (según explicamos antes), nos queda un total de:
Para comprobar este resultado, lo que se hace es demostrar que todos los movimientos expuestos anteriormente se pueden realizar en el cubo, y que no se puede realizar ningún otro. Si queréis una guía con el proceso de comprobación, podéis echar un vistazo en este link. Además, en la misma web podéis encontrar un pequeño resumen para calcular el número de permutaciones de cubos más grandes… resultan cifras realmente escalofriantes. Además, hay otras curiosidades, como el número 24, que se repite constantemente en el cubo (cada centro de cara puede estar en 4 posiciones diferentes al ser girado, y hay 6 centros -> 24 posiblidades; cada arista en 2 posiciones diferentes, y hay 12 -> 24 posibilidades; cada esquina en 3 posiciones diferentes, y hay 8 esquinas -> 24 posibilidades… etc).
Continuando con nuestra presentación sobre el CR, llega el momento de tratar la forma de resolverlo. El método más sencillo, el de novatos, consta de varias fases. La mayoría de los movimientos a realizar se comprenden bien cuando uno piensa la lógica que hay detrás, aunque al final toca memorizar varios algoritmos para realizar determinados giros sin destrozar el resto del cubo que ya llevamos hecho. Los métodos avanzados para speedcubing (para conseguir resolver el cubo en el menor tiempo posible) contemplan cientos de algoritmos que deben usarse según los patrones que encontremos conforme resolvemos el cubo.
En el método para principiantes, se comienza realizando la cruz del color de una cara, por ejemplo la roja. Este paso es muy sencillo, simplemente hay que ser precavido, y comprobar que el lado no-rojo de las aristas coincide con el color del centro de las caras adyacentes donde estamos situándolos. Hecho esto, se colocan las esquinas rojas. El procedimiento siempre es el mismo: si debemos llevar una esquina a un hueco, debemos llevar el hueco a la posición donde estará la esquina cuando la giremos en un determinado sentido, y luego devolver el hueco a su sitio (se ve más fácil gráficamente). Colocadas las esquinas, habríamos terminado la primera fila. A continuación, se situán adecuadamente las aristas de la segunda fila y ésta quedaría resuelta. Quedaría la última fila (con la cara superior naranja en nuestro caso). Empezaríamos haciendo la cruz de su color en la cara de arriba, después colocando los vértices en sus lugares adecuados, y por último girando éstos para que queden bien orientados. Para realizar estos movimientos, basta con aprender 4 secuencias, y con un poco de práctica, podréis resolver el cubo en cuestión de un par de minutos e incluso menos.
El método avanzado más conocido es el de Jessica Fridrich, y se divide en 4 fases: la cruz, el First 2 layers (F2L, 41 algoritmos), el Orientation of Last Layer (OLL, 57 algoritmos) y el Permutation of Last Layer (PLL, 21 algoritmos). Para que veáis lo que podéis hacer con estos movimientos, aquí tenéis un vídeo del gran David Calvo (del que os hablaremos a continuación) resolviéndolo en pocos segundos:
Recientemente, Sheldon me regaló un cubo de Rubik original, y tuve la posibilidad de comenzar a meterme en el mundillo, aunque a niveles verdaderamente irrisorios en comparación con quienes hacen speedcubing. Con el cubo incluían un DVD explicativo con los primeros pasos para comenzar a resolverlo. Estos vídeos eran presentados por David Calvo, campeón de España, record Guiness (como el de conseguir resolver 185 cubos en una hora, o sea, una media de menos de 20 segundos por cubo). Hemos tenido la suerte de contactar con el propio David, que ha resultado ser una persona abierta, afable, y muy muy cercana (muchos pueden pensar que para batir estos records hace falta ser un especimen extraño, y él es la prueba de que no es cierto). Os recomendamos su blog, donde podréis encontrar explicados con detalle los métodos de resolución, tanto el de principiantes como el avanzado, además de curiosidades, sus records personales, etc. Como podréis comprobar, existen diferentes modalidades dentro de los campeonatos, como la de resolver el cubo con una mano, la de resolver el cubo a ciegas, etc. Es cuestión de que encontréis vuestra categoría favorita, ¡y empecéis a darle al cubo!
Si finalmente os animáis a trastear con él, y queréis realizar tiempos verdaderamente rápidos, será recomendable que desmontéis vuestro cubo para lubricarlo, a ser posible con lubricante de silicona (no es recomendable usar el 3 en 1 que tenéis por casa). Para desmontar el cubo, no hay más que girar la cara superior 45 grados, y hacer palanca para sacar alguna de las aristas giradas. Después, las demás irán saliendo con facilidad. Aunque para consejos avanzados sobre cómo modificar y mejorar vuestro cubo, mejor que paséis por los links que véis más abajo, para que sean los verdaderos profesionales del cubo quienes os ilustren sobre él.
Por último, os dejamos a continuación una serie de enlaces recomendados, aunque podríamos poner cientos, para que ampliéis conocimientos sobre el cubo, y aprendáis técnicas de resolución… quién sabe, ¡quizá os encontréis con David Calvo en el próximo campeonato!
Blog de David Calvo, consejos, un foro imprescindible, métodos de resolución…: http://www.darubik.com/
Página de Carlos Angosto, también con explicaciones paso a paso, foro, consejos…: http://www.rubikaz.com/
Esperamos que nuestro artículo de hoy os anime a practicar con el cubo. En nuestro país hay una gran comunidad de speedcubers que estarán dispuestos a ayudaros en todo lo posible si pasáis por los foros de las páginas que os comentamos. Nos despedimos citando a David Calvo, con una frase tan simple como motivadora: “Tú también puedes hacerlo“.
De nuevo en Átomos y Bits volvemos a la carga con un post que llevaba tiempo queriendo escribir. A menudo hablamos sobre diferentes teorías matemáticas, físicas, ecuaciones, etc., que no siempre se encuentran con facilidad en la vida diaria (o mejor dicho, no nos percatamos de que están ahí tan fácilmente). En esta ocasión, no quería dejar pasar la oportunidad de compartir con vosotros mi verdadera admiración hacia el conocido “Efecto Mariposa“.
El Efecto Mariposa dice básicamente que el aleteo de una mariposa en un lugar del mundo, podría llegar a desatar un huracán en el otro extremo del globo. Esto no es más que una forma elegante de referirse a una realidad englobada en el marco de la Teoría del Caos. La base del efecto mariposa subyace en que una ligera variación de las condiciones iniciales en un sistema puede provocar grandes variaciones en los resultados finales del mismo. Pero no siempre se darán las condiciones para que esto ocurra, como veremos a continuación.
Ya en la carrera nos hablaron de sistemas estables e inestables, que es una forma de aproximarse a los efectos que la Teoría del Caos puede tener sobre las telecomunicaciones (por ejemplo). Pero si nos centramos en la física tradicional, la clasificación que podemos hacer de los sistemas es un poco diferente. Cuando tratamos sistemas dinámicos (esto es, los que sufren alguna variación de sus condiciones desde el momento inicial), podemos observar tres comportamientos diferentes:
Sistemas estables: se llaman así aquellos cuya variación les hace tender a un estado/posición a lo largo del tiempo. Podemos interpretarlo como que presentan un atractor que les llevaría a un estado menor de energía y, por tanto, más estable para ellos. Imaginémoslo como si dejáramos rodar una canica en el borde de un tazón de cereales: después de varios giros, ascensos y descensos por el interior del tazón, la canica tenderá a asentarse en el fondo del mismo.
Sistemas inestables: el lado opuesto. Tienden a escaparse de su atractor, y se caracterizan entre otras cosas porque una pequeña variación en sus condiciones iniciales puede llevar a muy diferentes estados finales.
Sistemas caóticos: se encuentran a caballo entre los anteriores. Los atractores hacen que tiendan hacia ellos, pero se encuentran otra serie de factores que les alejan de dichos “puntos”. Por tanto el resultado queda delimitado por una zona de influencia de ambas componentes, de la cual el sistema no podría salir, pero dentro de la cual su estado concreto es impredecible (esto nos recuerda al Principio de Incertidumbre…)
Para que un sistema sea caótico, debe cumplir una serie de características, como contar con un elevado número de órbitas que compongan un conjunto denso en una región compacta del espacio. Pero además, como se comentó anteriormente, deben ser sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Dicha sensibilidad se relaciona con el Exponente Lyapunov, que determina el grado de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas en el espacio, aunque dicha separación puede ser diferente, según las orientaciones iniciales de dos trayectorias dadas (imaginemos un cilindro que será nuestra trayectoria inicial; una segunda trayectoria será un cilindro cercano al anterior, pero con una orientación diferente, que se separará del inicial de una forma u otra dependiendo de la posición relativa a él, ya que podemos situarlos en infinitas posiciones uno respecto al otro). Ello nos da una colección de diferentes valores del exponente, aunque se trabaja con el mayor de ellos (que será el que tenga mayor peso a la hora de predecir futuros estados del sistema).
En cuanto a atractores, podemos hablar largo y tendido sobre ellos, y podrían suponer en sí mismos otro post completo. Si observamos la evolución en el tiempo de un sistema, podemos representar una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito, la trayectoria sólo ocupará un subespacio del espacio de estados, denominado atractor. El atractor es la representación geométrica de la dinámica del sistema en el tiempo; los atractores pueden ser caracterizados por sus dimensiones. Un atractor de dimensión 0 corresponde a un sistema estático: el sistema no cambia en el tiempo. Un atractor de dimensión 1 corresponde a un sistema periódico, en el cual un número finito de estados se repiten indefinidamente. Un atractor de dimensión 2 y mayores corresponde a un sistema cuasi-periódico. Un ejemplo típico de atractor periódico es el que puede guiar el movimiento de un péndulo (en el que influirán muchos otros factores externos que en conjunto definirán la posición exacta del péndulo en cada momento, alrededor de un punto central). Además de estos, existen los atractores extraños, que definen trayectorias más complicadas en el espacio de estados del sistema. Uno de los más conocidos es el Atractor de Lorenz, presente en el estudio que Edward Lorenz desarrolló en los años 60 sobre un modelo tridimensional para el conocimiento del comportamiento atmosférico.
Atractor de Lorenz
Relacionado con todos los conceptos introducidos hasta ahora, encontramos la parte más “artística” de la Teoría del Caos: los fractales. Un fractal viene a ser la representación gráfica del comportamiento de un sistema caótico, y se caracteriza por su autosimilitud (sus partes tienen la misma forma que el todo, pero a diferentes escalas). No hace falta que la autosimilitud sea exacta para poder aceptar un patrón como fractal. De hecho, la propia definición de fractal es algo sobre lo que hay multitud de versiones y ninguna de ellas ofrece una visión lo bastante amplia como para que englobe todos los tipos de fractales existentes. Algunos de los más conocidos son los Conjuntos de Julia, el Copo de nieve de Koch, los fractales Mandelbrot, etc.
Fractales de Lorenz proyectados
Conjunto de Mandelbrot
Copo de nieve de Koch
Como recurso útil, os dejamos esta dirección http://www.apophysis.org/downloads.html en la que podéis obtener el programa Apophysis, freeware, para que comencéis a realizar vuestros fractales y disfrutéis de estas representaciones matemáticas tan vistosas. Otro programa “ready-to-go” es el Sterling2, que podéis encontrar en http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html y que os permitirá crear fractales en cuestión de segundos.
Por último, para acabar con este post, me gustaría hablar de la parte humana del Efecto Mariposa. Reconozco que me gusta pensar en ello, casi de manera enfermiza, y empezar a quebrarme los sesos pensando: “¿Donde estaría yo ahora si hubiera hecho tal o cual?”, “¿Qué pasaría si esta mañana hubiera ido en metro en vez de en coche al trabajo?”, “¿Qué pasaría si no hubiera enviado ese SMS aquel día a aquella persona?… Creo que muchas personas no son conscientes de que un pequeñísimo cambio en cualquiera de estas tonterías diarias, puede suponer un giro de 180º en sus vidas. No sé si vosotros creéis en el destino o no, a mi me gusta pensar que estoy donde estoy gracias a una serie de carambolas que me han traido hasta aquí, quizá porque una mariposa estaba volando en Australia. Por eso, nos gustaría que aquellos que leáis este artículo y os sintáis identificados con ello, dejéis un comentario con alguno de estos momentos “tontos” que habéis tenido y que creéis que han cambiado para siempre vuestra vida… ¡nos encantaría conocerlos!
Empiezo yo: si hace unos años no me hubiera conectado a un programa de simulador de control de tráfico aéreo para pasar un rato, probablemente no conocería a Sheldon, y no seríamos compañeros de trabajo, y… ¡cuántas cosas nos estaríamos perdiendo! ¡Vosotros no podríais disfrutar de Átomos y Bits!
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Evidentemente son datos inventados, y son pocas posibles causas. Si repetís esto mismo con datos reales y mayor número de causas, veréis como los resultados empiezan a acercarse al 20-80.
